来週に近所の中学校で簡単なDNA実験を教えることになっています．先週に別の講師がPCRの増え方の細かいところを教えたのですが，少し難しかったようなのでもう一度復習しようと思います．
さて，教科書的にはPCRによってDNA分子は倍々，つまり2のn乗で増えていくということですが，実際には違います．鋳型のゲノムからは1サイクルあたり常に2n本のプライマーから下流にのみ増幅されたDNAが合成され，さらにその2n本のDNAからプライマー間のみを増幅した短い断片が合成されていきます．図は3サイクル目の増幅を示したものです．
と，ここまで来ればDNAの分子数をnで簡単に表せるなぁと思ってたのですが，高校の数学を忘れてしまったので教科書を読みなおす羽目に...
漸化式を立てるとnサイクル目の短いプロダクトの分子数は，an+1=2an+2n.
両辺を2n+1で割ってbn=an/2nと置くとbn=bn-1+(n-1)/2n-1,
上の式を1からnまで両辺を足し合わせていくと，
bn=1/2+(2/22)+...+(n-2)/2n-2+(n-1)/2n-1,
両辺に2分の1をかけてもとの式から引くと，
bn/2=(1/2)+(1/2)2...+(1/2)n-1-(n-1)/2n
bn=(2n-2n)/2n,
したがって,an=2n-2n,ということになります．短い断片は4サイクル目で8分子，5サイクル目で22分子，以下52,114となるはずです．
高校の数学って結構忘れてしまってますね．いい勉強になりました．ただ，毎回2倍で増えていって，そのうち2n分子は半分の長さのDNAなので引き算する，って考えるだけでも実は良かったりします．結果を見てから気づいたのですが．
